k3.txt

* Huybrechts, Lectures on K3 surfaces.

* Liedkte, Oberseminar-Vortrag, 24.11.2014
  Liedtke - Rational curves on K3-surfaces.pdf


=== Definition

Eine K3-Fläche ist eine kompakte komplexe Fläche X mit omega_X = O_X und H^1(X, O_X) = 0.

K3-Flächen sind also insbesondere Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten.


=== Beispiele

* Jede glatte Quartik im P^3.

* Die Kummer-Fläche einer abelschen Fläche.

Jede K3-Fläche hat als Euler-Charakteristik 24. Das folgt zum Beispiel aus
Noethers Formel.

Jede K3-Fläche hat H^0(X, T_X) = 0. Also gibt es keine nichttrivialen globalen
Vektorfelder. (Huybrechts Seite 15)


=== Derivierte Äquivalenzen

* Der Doppelshift-Funktor __[2] ist ein Serre-Funktor. D^b(K3) besitzt keine
  nichttrivialen semi-orthogonalen Zerlegungen (siehe
  derivierte-kategorie-von-schemata.txt).

* Ist D^b(K3) äquivalent zu D^b(glatt projektiv), so ist (glatt projektiv) auch
  schon K3. (Huybrechts 10.1)

* Mukai-Vektoren von Klassen aus K(X) liegen schon in H^*(X,Z) (statt in
  H^*(X,Q)) (Huybrechts Lemma 10.6).

* Zwei K3-Flächen sind genau dann deriviert äquivalent, wenn es eine
  Hodge-Isometrie zwischen den H~ gibt (Huybrechts Prop. 10.10).


=== Globaler Torelli

Laut Huybrechts (Seite 230) wichtigstes Theorem über K3-Flächen.

K3-Flächen X und Y sind genau dann isomorph, wenn es eine Hodge-Isometrie
H^2(X, Z) --> H^2(Y, Z) gibt.

Unter einer Voraussetzung hat man sogar, dass Isomorphien zwischen X und Y
den Hodge-Isometrien genau entsprechen.