07_testovani.qmd

# Testování hypotéz {#sec-testovani}

::: callout-warning
## Cíle cvičení 

- Znát terminologii testování hypotéz.
- Umět sestavit a vyhodnotit statistický test.
:::

Testování statistikcké hypotézy je proces, při kterém na základě dat pocházejících
z **náhodného výběru** ověřujeme úsudek o teoretickém souboru. Pomocí testování
hypotéz řešíme například:
  - srovnání charakteristiky výběrového odhadu parametru $\theta$ s přepokládanou 
    hodnotou souboru.
  - vyhodnotit charakter rozdělení náhodné veličiny
  - vyhodnocení nezávislosti veličin

Zavádíme pojmy nulové $\mathrm{H}_0$ a alternativní hypotézy $\mathrm{H}_a$ jako 
vzájemně vylučující se tvrzení.

Pod *testováním hypotéz* potom rozumíme proces, který na základě 
vlastností datové sady rozhodne o **zamítnutí**, či **nezamítnutí nulové hypotézy**.

::: callout-note
## Poznámka

Nulová hypotéza má ve většině případů neutrání až trochu negativní znění. 
Například "neexistuje rozdíl mezi středními hodnotami", "testované rozdělení 
není odlišné od normálního" apod. Její konstrukce víceméně odráží opak toho, 
co se na sesbíraných datech snažíme vysledovat.
:::

## Postup testování statistické hypotézy:

1.  Formulace nulové $\mathrm{H}_0$ a alternativní $\mathrm{H}_a$ hypotézy,\
2.  volba hladiny významnosti $\alpha$,\
3.  volba testovací statistiky,\
4.  určení kritického oboru testové statistiky,\
5.  vyhodnocení testu s pomocí p-hodnoty.

Výsledkem testování je buď a) zamítnutní nulové hypotézy[^07_testovani-1] b) nezamítnutní nulové hypotézy.

[^07_testovani-1]: Zamítnutí nulové hypotézy **neznamená, že nulová hypotéza ve skutečnosti nemůže platit**, ale získaná data nevykazují objektivní důvody k jejímu přijetí.

```{=html}
<hr>
<table>
  <tr>
    <td rowspan="2"><b>Rozhodnutí</b></td><td colspan="2"><b>Skutečnost</b></td>
  </tr>
  <tr>
    <td>$$\mathrm{H}_0$$</td><td>$$\neg \mathrm{H}_0$$</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>Nazamítáme $$\mathrm{H}_0$$</td><td>Správné rozhodnutí: $$P = 1 - \alpha$$</td><td>Nastává chyba II. druhu: $$P = \beta$$</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>Zamítáme $$\mathrm{H}_0$$</td><td>Chyba I. druhu: $$P = \alpha$$</td><td>Správné rozhodnutí: $$P = 1- \beta$$</td>
  </tr>
</table>
```

Síla testu $\beta$ je pravěpodobnost, že je testem zamítnuta nulová hypotéza, 
která je skutečně neplatná. $P(\mathrm{H}_A|\mathrm{H}_A) = 1-\beta$

## $p-$hodnota

Místo porovnání hodnoty testovacího kritéria s kritickými hodnotami lze pro rozhodování o platnosti či neplatnosti nulové hypotézy použít i tzv. *$p-$hodnotu* (anglicky p-value). Definice $p-$hodnoty je poněkud obšírná - *jedná se o odhad pravděpodobnosti, že daný výsledek nebo výsledek, který je ještě extrémnější než ten pozorovaný, mohl nastat náhodou, za předpokladu, že nulová hypotéza je pravdivá*.

## Jednovýběrové testy

Představme si, že hledáme odpověď na otázky typu: "Jaká je střední hodnota souboru?", 
"Je střední hodnota souboru výrazně odlišná od očekávání (například na základě teoretického poznání)"?
"Jaká je mír nejistoty odhadu této střední hodnoty?".

## $100(1-\alpha)\%$ interval spolehlivosti

Vrátíme se krátce k intervalu spolehlivosti z předchozí hodiny. 

$$
\bar{x} - 1.96\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq\mu\leq \bar{x} + 1.96\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}
$$

$$
\bar{x} - t_{(1-\alpha/2)}(\nu)\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq\mu\leq \bar{x} + t_{(1-\alpha/2)}(\nu)\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}
$$

kde $\nu=n-1$ je počet stupňů volnosti. Kvantil $t_{\alpha/2}$ lze získat následovně
```{r, eval=FALSE}
alpha <- 0.05
nu <- n - 1
qt(p = (1 - alpha)/2, df = nu)
```

### Příklad 1
V tomto příkladu si ukážeme, jak to vypadá, když **dojde k chybě 1. druhu**.
Dejme tomu, že jsme v průběhu práce sesbírali následující hodnoty:\    
`r set.seed(1450070); rnorm(10)`\      
u procesu $X\sim\mathsf{N}(0; 1)$
```{r, fig.align='center'}
set.seed(1450070) #<1>
xd <- rnorm(10)
curve(dnorm(x), from = -5, to = 5)
rug(xd, lwd = 2)
segments(x0 = mean(xd), 
         x1 = mean(xd), 
         y0 = -0.2, 
         y1 = dnorm(mean(xd)), 
         lwd = 2, 
         col = "orangered",
         xlab = "", 
         ylab = "")
```
1. V tomto příkladu potřebujeme vygenerovat specifické hodnoty, proto si určíme `set.seed()` 

Data jsme získali s pomocí generátoru pro náhodné rozdělení, budeme předpokládat, 
že teoretický soubor má náhodné rozdělení s parametry $\mu=0$ a $\sigma^2=1$ a ověříme
na hladině významnosti $\alpha=0.05$.

::: callout-note
## Úloha
  
  1. Stanovte znění $\mathrm{H}_0$ a $\mathrm{H}_a$.
  2. Kolik bude stupňů volnosti?
:::

```{r}
t.test(xd, mu = 0) #<1>
```
Z výsledku testu vyplývá, že `p-value` $< \alpha$, proto tedy musíme nulovou hypotézu `r fitb(c("zamítnout", "zamitnout"))`.



### Příklad 2

V předchozím příkladu jsme testovali nulovou hypotézu oproti oboustranné alternativě, 
tzn. neřešili jsme, zda je střední hodnota menší či větší.

::: callout-note
## Úloha 

  1. S pomocí nápovědy nastavte argumenty funkce `t.test()` tak, aby byla test proběhl
  oproti jednostranné alternativě, že je skutečná střední hodnota nižší než 2.
  2. Studentův $t-$test lze použít za předpokladu, že data splňují tzv. normalitu.
  tu lze pro tento soubor snadno ověřit jiným testem - `shapiro.test()`. $\mathrm{H}_0$:
  rozdělení není odlišné od normálního. Zamítneme $\mathrm{H}_0$ na hladině významnosti $\alpha=0,1$?
  3. Zatím jsme použili jedovýběrový $t-$test na data pocházející z Normálního rozdělení. 
  V případě, že by naše data nesplňovala předpoklady kladené na tento parametrický test, 
  museli bychom volit neparametrickou variantu testu. Pro test hypotézy o střední 
  hodnotě lze využít neparametrický *Wilcoxonův test* - `wilcox.test()`. Rozhodněte 
  o volbě testu a proveďte s pomocí nápovědy test o rovnosti středních hodnot souborů
  z datové sady **temp.csv**.
  
:::