---------------------------------------------------------------------
                              TEMA MN 2
---------------------------------------------------------------------

AUTOR
  Smadu Razvan-Alexandru 315CB

FISIERE INCLUSE
  CalculezValProprii.m
  IntervaleValProprii.m
  LimiteValProprii.m
  NrValProprii.m
  PutereInv.m
  ValoriPolinoame.m
  README

README
  Cerinta 1
    Functia ValoriPolinoame() calculeaza valoarea polinomului caracteristic
	folosind relatia de recurenta:
                                               2
      P (lambda) = (d - lambda)P   (lambda) - s    P   (lambda) pt i=2:n
       i             i          i-1            i-1  i-2

	unde P = 1 si P = d - lambda, iar s, d si lambda sunt date ca parametrii
          0        1   1
	ale functiei. In final se returneaza vectorul P. Valoarea in lambda este
	valoarea in P(n).
   
  Cerinta 2
    Functia NrValProprii() calculeaza numarul de valori proprii folosind
	proprietatea unui sir Sturm. Algoritmul utilizat consta in parcurgerea
	vectorului P (calculat din ValoriPolinoame()) si se compara semnele
	valorilor 2 cate 2. In cazul in care o valoare este 0, atunci semnul
	se considera a valorii anterioare (adica adun 1 sau scad 1, in functie
	de semnul anterior). Daca are loc schimbere de semn, atunci in 
	intervalul [P(i), P(i+1)] se afla o valoare proprie.
  
  Cerinta 3
   Functia LimiteValProprii() calculeaza cele doua limite (inferioara si
   superioara) intre care se gasesc valorile proprii. Prima data se 
   aduc vectorii diagonala (superioara si inferioara) la aceeasi dimensiune,
   se calculeaza t  ca fiind suma modulelor elementelor de pe cele 2 
                  i
   diagonale de pe linia i, iar apoi se calculeaza limitele ca fiind
   valoarea minima respectiva maxima a sumei, respectiv diferentei dintre
   elementele pe diagonala si t  calculat anterior. 
                               i

  Cerinta 4
   Functia IntervaleValProprii() calculeaza intervalele intre care se afla
   fiecare valoare proprie. Se initializeaza capetele vectorului r cu 
   limitele inferioare si superioare. Se calculeaza, impartind intervalul
   in jumatate (precum in metoda bisectiei), capetele intervalului, pana 
   cand numarul de valori proprii din interval este cel care trebuie, la 
   fiecare iteratie, eliminandu-se o valoare proprie din calcul. In final
   se returneaza vectorul de capete de intervale.

 Cerinta 5
   Functia CalculezValProprii() calculeaza valorile proprii si le returneaza
   intr-un vector. Algoritmul consta in calcularea intervalelor in care
   se afla o singura valoare proprie; pentru fiecare interval se 
   calculeaza valoarea proprie prin metoda bisectiei; se returneaza 
   rezultatul final.
   Functia Pn() calculeaza valoarea polinomului caracteristic in x, ca fiind
   valoarea de pe pozitia n a vectorului de valori polinoame.
   Functia Bisectie_ValP() este o functie ce aplica metoda bisectiei pentru
   a calcula valorile proprii din intervalele calculate anterior. 
   Aceasta functie a fost modificata pentru a se putea calcula pe functia
   polinomului caracteristic.

  Cerinta 6
   Functia PutereInv() calculeaza vectorul propriu si valorile proprii
   ale matricei tridiagonale prin metoda puterii inverse.
   Algoritmul:
     - cat timp mai exista iteratii sau nu s-a atins precizia dorita
	                                         (k - 1)
	   - se rezolva sistemul (A - hI) * z = y        folosind Thomas
	                         |__  __|
                             _      \/                       _
			    | d1 - h	s1                    |
                            |   s1    d2 - h   s2             |
                            |           s2   d3 - h   .       |
                            |              .      .     .     |
                            |                .      .   s(n-1)|
			    |                  .      .       |
			    |_               s(n-1)  d(n) - h_|
              
			                             (k)
       - se normalizeaza rezultatul si se retine in y
	   - se calculeaza calculeaza y' * A * y
       - se face h = valp pt a creste viteza de convergenta a metodei
	   - se calculeaza a = A * y - lambda * y
       - se verifica daca s-a obtinut precizia dorita
	 - se returneaza rezultatul final. 

    Nota: La implementarea inmultirilor matricilor exista 3 cazuri: cand i
	este intre 2 si n-1 (exista 3 termeni la suma); cand i = 1 se aduna
	doar ultimii 2 (primul nu exista); cand i = n se aduna primii 2 termeni
	(ultimul nu exista).